2021년08월21일 1번
[과목 구분 없음] 세 실수 가 x, ,y, z가 x+y+z=4, xy+yz+zx=-14, xyz=-12를 만족시킬 때, (x+y)(y+z)(z+x)의 값은?
- ① -40
- ② -44
- ③ -48
- ④ -52
(정답률: 알수없음)
문제 해설
(x+y)(y+z)(z+x)을 전개하면 xyz + x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다. 이때, xyz=-12이므로 이를 대입하면, (x+y)(y+z)(z+x) = -12 + x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다.
또한, (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 16이므로, x^2+y^2+z^2 = 16+2(xy+yz+zx) = -4이다.
이를 이용하여 x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2)을 계산하면, x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) - (x^3+y^3+z^3) = -64 - 3xyz = -28이다.
따라서, (x+y)(y+z)(z+x) = -12 - 28 + 2(xy^2+xz^2+yz^2) = -40 + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다.
이제 xy+yz+zx=-14를 이용하여 xy^2+xz^2+yz^2을 구해보자.
(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z) = (xy^2+xz^2+yz^2)xyz + 2xyz(x+y+z) + (xy+yz+zx)^2 = (xy^2+xz^2+yz^2)(-12) - 28^2 = 196
따라서, xy^2+xz^2+yz^2 = -49/3이다.
따라서, (x+y)(y+z)(z+x) = -40 + 2(xy^2+xz^2+yz^2) = -40 + 2(-49/3) = -44이다.
즉, 정답은 "-44"이다.
또한, (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 16이므로, x^2+y^2+z^2 = 16+2(xy+yz+zx) = -4이다.
이를 이용하여 x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2)을 계산하면, x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) - (x^3+y^3+z^3) = -64 - 3xyz = -28이다.
따라서, (x+y)(y+z)(z+x) = -12 - 28 + 2(xy^2+xz^2+yz^2) = -40 + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다.
이제 xy+yz+zx=-14를 이용하여 xy^2+xz^2+yz^2을 구해보자.
(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z) = (xy^2+xz^2+yz^2)xyz + 2xyz(x+y+z) + (xy+yz+zx)^2 = (xy^2+xz^2+yz^2)(-12) - 28^2 = 196
따라서, xy^2+xz^2+yz^2 = -49/3이다.
따라서, (x+y)(y+z)(z+x) = -40 + 2(xy^2+xz^2+yz^2) = -40 + 2(-49/3) = -44이다.
즉, 정답은 "-44"이다.
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